Harmoniczne

 

Opis teoretyczny

 

Szereg Fouriera.

Analiza prądów i napięć odkształconych opiera się na rozkładzie krzywych odkształconych na szereg Fouriera. Na każdy przebieg odkształcony (niesinusoidalny) składa się nieskończony szereg napięć lub prądów sinusoidalnych o różnych częstotliwościach, które są wielokrotnościami częstotliwości podstawowej. Częstotliwości harmoniczne to całkowite wielokrotności częstotliwości podstawowej. Funkcję okresową odkształconą można przedstawić za pomocą nieskończonego szeregu trygonometrycznego Fouriera:

 

            gdzie:

 

a₀/2      —        składowa stała

Am_(h)    —        amplituda składowej o częstotliwości  fh = hf1

h          —        rząd harmonicznej

φ_h        —        kąt fazowy h-tej harmonicznej dla t = 0

Szereg składa się ze wartości stałej c₀, oraz nieskończonej liczby funkcji sinusoidalnych o różnych amplitudach Am_(h) i fazach początkowych φ_h, których częstotliwości tworzą postęp arytmetyczny.

c₀ nazywana jest składową stałą szeregu zwana jest też harmoniczną zerową. Sinusoidę o pulsacji ω nazywamy sinusoidą podstawową lub pierwszą harmoniczną. Pozostałe sinusoidy o pulsacjach 2 ω, 3 ω, k ω itd. nazywane są kolejno drugą, trzecią, k-tą harmoniczną. O harmonicznych tych mówimy, że są to wyższe harmoniczne. W sieci energetycznej w Europie, częstotliwość podstawowa wynosi 50 [Hz], więc trzecia harmoniczna wynosiłaby 150 [Hz] a siódma 350 [Hz].

Harmoniczne występujące w szeregu Fouriera dzielimy na nieparzyste (dla k=1,3,5,..) i parzyste (dla k=2,4,6,..).

Rozwinięcie przebiegu w szereg Fouriera, oraz wyznaczenie stałych przebiegu umożliwia wyznaczenie charakterystycznych wielkości dla różnych częstotliwości, w tym amplitud i faz poszczególnych składowych.

Działanie takie jest nazywane analizą harmonicznych przebiegu.

 

Szereg Fouriera funkcji x(t) ma postać: [23]

 

 

 

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi i wykładniczymi pozwalają na wyrażenie szeregu Fouriera w postaci wykładniczej:

 

Współczynnik zespolony szeregu Fouriera:

Kąt fazowy:

 

Rozkład przykładowego przebiegu na harmoniczne.

Dla przykładu podano rozkład przebiegu niesinusoidalnego. Jest to przebieg po obcięciu 0.125 połówek sinusoidy. Korzystając z programu Mathcad możemy łatwo wyznaczyć współczynniki szeregu Fouriera oraz zasymulować i badać określone przebiegi odkształcone.

 

Czerwony wykres pokazuje przebieg jaki zostanie uzyskany po dodaniu trzech pierwszych harmonicznych i składowej stałej (która w tym przypadku wynosi zero), natomiast przebieg zielony pokazuje przebieg jaki uzyskamy sumując pierwszych siedem harmonicznych. Przebieg niebieski jest badanym przez nas.

 

rys1.1 Rozkład przebiegu niesinusoidalnego na szereg Fouriera

 

Pierwsze trzy harmoniczne pokazane są poniżej. Jak widać różnią się one amplitudą i częstotliwością. Po dodaniu dają przebieg zbliżony do badanego odkształconego. Im więcej harmonicznych analizujemy tym przebieg ten będzie bardziej zbliżony do oryginału.

 

 

Rys1.2. Rozkład na poszczególne harmoniczne

 

 

 Widmo amplitudowe

Na podstawie amplitud poszczególnych harmonicznych otrzymanych w powyższych obliczeniach możemy wyznaczyć widmo amplitudowe przebiegu:

 

Rys.1.3. Widmo amplitudowe przebiegu

 

 

Widmo amplitudowe funkcji okresowej jest to wykres zależności amplitud kolejnych harmonicznych  od zmiennej n przedstawiającej rząd harmonicznej lub od n ω.

 

Jak widać otrzymane widmo pokazuje, że nasz przebieg nie posiada parzystych harmonicznych. Przebiegi w zależności od symetryczności względem osi układu mogą zawierać tylko określone harmoniczne. I tak :

 

o        symetryczne względem osi odciętych tylko harmoniczne nieparzyste (czyli przykład powyżej). Dodatkowo

o       funkcje przemienne - mające jednakowe pola powierzchni nad i pod osią odciętych nie zawierają składowej stałej: Ao = 0,

.

o       krzywe antysymetryczne wyprostowane całofalowo zawiera wyłącznie składową stałą i harmoniczne parzyste.

 

 

Aby jeszcze lepiej zrozumieć szereg Fouriera za pomocą prostej animacji możemy dodawać kolejne harmoniczne i obserwować jak zmienia się funkcja otrzymana z ich sumowania.

 animacja – jak dodają się poszczególne harmoniczne - kliknij

Rys.1.4. Symulacja dodawania kolejnych harmonicznych

 

Klasyfikacja harmonicznych

Z punktu widzenia rodzaju analizowanych w elektrotechnice przebiegów można wyróżnić harmoniczne napięcia lub prądu. Ze względu na relację częstotliwości składowych analizowanego przebiegu odkształconego, do częstotliwości składowej podstawowej, można wyróżnić prócz harmonicznych dodatkowo:

o       Interharmoniczne napięcia to napięcia sinusoidalne o częstotliwości zawartej pomiędzy harmonicznymi, tj. częstotliwości nie będącej całkowitą krotnością częstotliwości składowej podstawowej. Interharmoniczne napięcia o bardzo niewiele różniących się wartościach częstotliwości mogą wystąpić w tym samym czasie tworząc widmo szerokopasmowe. Poziom interharmonicznych wzrasta na skutek wzrostu zastosowań przemienników częstotliwości i podobnych urządzeń sterujących. Źródłem interharmonicznych mogą być także silniki podczas rozruchu, a także maszyny uszkodzone (np. ze zdeformowanym wirnikiem). [7].Dotychczas norma nie określa konkretnych wymagań w tym zakresie. Stanowi jedynie, iż po zgromadzeniu większej liczby doświadczeń rozważane będzie przyjęcie odpowiednich wartości dopuszczalnych poziomów interharmonicznych.

o       Subharmoniczne to składowe o częstotliwościach mniejszych od częstotliwości składowej podstawowej. [6]

 

W układach przekształtnikowych dodatkowo wyróżnia się dwie grupy harmonicznych:

o       Charakterystyczne, które występują w prądach przekształtnika w idealnych warunkach jego pracy

o       Nie charakterystyczne, występujące w rzeczywistych warunkach jego pracy, których obecność nie wynika z liczby pulsów przekształtnika (na przykład 5 harmoniczna w przekształtniku 12 pulsowym).

Harmoniczne występujące w obwodzie trójfazowym mogą być rozpatrywane z uwzględnieniem pojęć składowych symetrycznych. Istnieje prosta relacja pomiędzy rzędem harmonicznej i odpowiadającą mu kolejnością faz. I tak dla kolejności faz:

-        zgodnej odpowiadają harmoniczne rzędu 3k+1  (1,4,7,10...)

-        przeciwnej odpowiadają harmoniczne rzędu 3k+2  (2,5,8,11...)

-        zerowej odpowiadają harmoniczne rzędu 3k+3  (3,6,9,12...)

Harmoniczne składowej zerowej w układzie trójfazowym mają taką samą fazę. Natomiast harmoniczne składowej przeciwnej (na przykład 5 harmonicznej) w poszczególnych fazach przesunięte są wobec siebie o 120 ⁰ a kolejność ich faz opisana jest sekwencją R – T – S, (więc odwrotnie).